| |||||
МЕНЮ
| Курсовая работа: Математическая модель в пространстве состояний линейного стационарного объекта управленияи подставим в целевую функцию. Получим – строку (15) Решаем задачу (12) – (14) симплекс-методом. В случае, если , – малое число иначе 1) если увеличить и целое,рвернуться к первому шагу формирования задачи линейного программирования; 2) если (не все управления будут равны предельным, могут быть, в том числе нулевые)), , уменьшить , вернуться к первому шагу формирования задачи линейного программирования. Решения данной задачи получено с помощью пакета Matlab 7.4 (скрипт SimplexMetod2.m): Рис. 14. График фазовой координаты . Рис. 15. График фазовой координаты . Рис. 16. График . Рис. 17. График оптимального управления . Выводы: Сравнивая полученные результаты с результатами полученными в ДЗ№2 по СУЛА, можно сделать вывод, что решения совпадают, с точностью до . 3. Оптимальная L – проблема моментов 3.1 Оптимальная L – проблема моментов в пространстве «вход-выход»Укороченная система данного объекта имеет вид: , где: ; ; ; ; ; . Полюса укороченной передаточной функции: ; ; ; ; . Заданы начальные и конечные условия: , , . Для определения начальных и конечных условий для воспользуемся следующей формулой: , Где матрица имеет следующий вид , где , . ИПФ укороченной системы: Составим фундаментальную систему решений: ФСР: . Составим матрицу . , где – матрица Вронского , Тогда . Составим моментные уравнения (связь между входом и выходом): Моментные функции определяются по следующей формуле Составим моментные функции: Найдем моменты по следующей формуле: . Числовое значение найденных моментов: Составим функционал качества, который имеет следующий вид: при условии, что :, т.е. Выразим из данного условия , тогда получим следующее равенство: . Подставляя полученное равенство в функционал и заменяя их правыми частями получаем Найдем частные производные и приравняем их к нулю. Решая полученную систему уравнений, определяем оптимальные значения коэффициентов , а вычислим по формуле . Т.о. имеем: Минимальная энергия: Найдем управление по следующей формуле: Тогда оптимальное управление . 3.2 Оптимальная L – проблема моментов в пространстве состоянийСистема задана в виде: Решение ДУ имеет вид: , при имеем: . Составим моментные уравнения: Подставляя необходимые данные в выше приведенные формулы, получим следующие моменты и моментные функции: Числовое значение найденных моментов: Моментные функции: Заметим, что моменты и моментные функции совпадают с моментами и моментными функциями, найденными в пункте (а). Из этого следует, что функционал, значения , управление и минимальная энергия будут иметь точно такие же числовые значения и аналитические выражения, как и в пункте (3.1). Оптимальное управление имеет вид: Проверим правильность полученного решения. Эталонные значения координат в начальный и конечный момент времени: , , Найденные значения координат в начальный и конечный момент времени: , , Вычислим погрешность полученных результатов: , , Ниже представлены графики полученного решения с помощью скрипта Optimal_L_problem_moments.m. Рис. 18. Графики фазовых координат системы при переходе из в .
Рис. 19. Графики выходных координат системы при переходе из в . Рис.20. График оптимального управления . Выводы: Задача перевода системы из начальной точки в конечную с помощью L-проблемы моментов в пространстве состояний и в пространстве вход-выход была решена с точностью до 12-го знака после запятой. Результаты, полученные при переводе системы из начальной точки в конечную, полностью совпадают. 4. Нахождение оптимального управления с использованием грамиана управляемости (критерий – минимизация энергии) Система имеет вид: с начальными условиями: , . Составим матрицу управляемости и проверим управляемость системы: . Составим грамиан управляемости для данной системы: Найдем грамиан по формуле: Тогда управление имеет вид: . или Ниже представлен график оптимального управления полученного с помощью скрипта Gramian_Uprav.m.: Рис.21. График оптимального управления . Графики фазовых координат аналогичны, как и в оптимальной L – проблеме моментов. Сравним управление, полученное в начальной и конечной точках в пунктах 3 и 4 соответственно: и Выводы: Как видно, значения граничных управлений совпадают. А это значит, что задача перевода объекта из начального состояния в конечное решена с высокой степенью точности и с минимальной энергией. Графическое сравнение оптимальных управлений из пунктов 3 и 4: Рис.21. Сравнение графиков оптимального управления . 5. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (АКОР)5.1 Стабилизации объекта управления на полубесконечном интервале времениРассмотрим линейный объект управления, описываемый системой дифференциальных уравнений в нормальной форме Необходимо получить закон управления минимизирующий функционал вида Начальные условия для заданной системы Моменты времени фиксированы. Матрицы — симметричные неотрицательно определенные: матрица — положительно определенная: Матричное дифференциальное уравнение Риккати имеет вид: Если линейная стационарная система является полностью управляемой и наблюдаемой, то решение уравнения Риккати при стремится к установившемуся решению не зависящему от и определяется следующим алгебраическим уравнением: В рассматриваемом случае весовые матрицы и в функционале не зависят от времени. Оптимальное значение функционала равно и является квадратичной функцией от начальных значений отклонения вектора состояния. Таким образом, получаем, что при оптимальное управление приобретает форму стационарной обратной связи по состоянию где — решение алгебраического матричного уравнения Риккати. 5.1.1. Решение алгебраического уравнения Риккати методом диагонализации Для решения данной задачи найдем весовые матрицы и : Выберем произвольно , тогда Взяв значения из решения задачи L – проблемы моментов получим: Матрицы системы имеют вид: , . Введем расширенный вектор состояния . Тогда матрица Z будет иметь следующий вид: , или в численном виде . Собственные значения матрицы : . Зная собственные значения и собственные вектора матрицы Z, построим матрицу По определению все решения должны быть устойчивы при любых начальных условиях , т.е. при . Чтобы не оперировать комплексными числами, осуществим следующий переход. Пусть: Тогда матрица формируется следующим образом: . Можно показать, что матрицу можно получить из прямой матрицы собственных векторов: , . Установившееся решение уравнения Риккати, полученное с помощью скрипта Solve_Riccati_Method_Diag.m. имеет вид: 5.1.2 Решение алгебраического уравнения Риккати интегрированием в обратном времени до установившегося состоянияВесовые матрицы и такие же как и в пункте (5.1.1). Матрицы тоже аналогичны. Запишем уравнение Риккати . Зная, что , решаем уравнение методом обратного интегрирования на достаточно большом интервале (примерно 10 с.), получим установившееся решение с помощью скрипта Solve_Riccati_Method_Revers_Integr.m.: Рис.22. Графики решения уравнения Риккати. Найдем разницу между решениями уравнения Риккати в пунктах 5.1.1 и 5.1.2: Выводы: сравнивая решения полученные в пунктах 5.1.1 и 5.1.2 можно сказать, что решения уравнения Риккати первым и вторым методами совпадают с заданной точностью. Погрешность расхождения решений невелика. Используя скрипт AKOR_stabilizaciya_na_polybeskon_interval.m получим коэффициенты регулятора, фазовые координаты системы и управление. Рис.23. Графики коэффициентов регулятора обратной связи.
Рис.24. Графики фазовых координат. |
ИНТЕРЕСНОЕ | |||
|