Построение и исследование динамической модели портального манипулятора

|[pic] |(2.4)|

При этом учитываем, что в положении равновесия [pic] обобщенные силы также

обращаются в нуль.

В (2.4) для упрощения приняты следующие обозначения:

[pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic].

Для составления дифференциальных уравнений свободных колебаний в форме

уравнений Лагранжа второго рода, выразим потенциальную энергию через

обобщенные координаты. Рассмотрим равновесие системы, на которую действуют

силы [pic][pic]…,[pic]. Потенциальная энергия в состоянии устойчивого

равновесия имеет минимум, равный нулю, а при вызванном действием сил [pic]

отклонении от него выражается квадратичной формой вида (2.4).

Элементарная работа всех сил действующих на систему, по принципу

возможных перемещений должна быть равна нулю:

|[pic]. |(2.5)|

Замечая, что

|[pic] | |

а также приравнивая к нулю коэффициенты при независимых вариациях

[pic], [pic] и [pic], получаем три уравнения:

|[pic], |(2.6)|

Здесь [pic], [pic] и [pic] ( обобщенные силы для системы сил [pic]

[pic] …,[pic], уравновешивающих потенциальные силы, возникающие при

отклонении системы из положения равновесия [pic]. Заменяя в (2.6)

производные потенциальной энергии их выражениями согласно (2.4), получим

систему уравнений, определяющих значение координат [pic], [pic] и [pic] в

положении равновесия:

|[pic], |(2.7)|

причем [pic], [pic] и [pic].

Решение системы (2.7) имеет вид:

|[pic], |(2.8)|

где

|[pic] |(2.9)|

[pic].

На систему действуют обобщенные силы, которыми являются инерционные

силы и силы сопротивления движению. Обычно в сложных системах в целях

упрощения [4, 5] силу сопротивления принимают пропорциональной первой

степени скорости движения. С целью упрощения условимся, что угол [pic] мал

и координаты массы m можно записать как [pic]. Поэтому на основании

кинетостатики можем записать:

|[pic], |(2.10)|

где [pic] ( обобщенная сила, [pic] ( коэффициент сопротивления

пропорциональный первой степени скорости движения массы m. Так как масса

собственно консоли манипулятора МРЛ-901П меньше массы закрепленных на ней

рабочих головок, захватов и деталей, для упрощения примем условие, что

точка исследования колебаний (практически ( рабочий орган манипулятора)

совпадает с точкой приложения сосредоточенной массы m.

Сила [pic] действует на все звенья манипулятора следовательно:

|[pic] |(2.11)|

Коэффициенты [pic]в (2.7) будем определять из того, что согласно

(2.11) звенья можно рассматривать независимо друг от друга. Положим

сначала, что [pic] действует только по координате [pic], затем только по

координате [pic] и наконец только по координате [pic], тогда в выражение

(2.7) можно переписать:

|[pic], |(2.12)|

таким образом [pic], используя (2.9) находим:

|[pic] |(2.13)|

| | |

Коэффициенты [pic], [pic] и [pic] определяют податливость звеньев

манипулятора по координатам [pic], [pic] и [pic] соответственно. Выражая

податливость звеньев через их жесткость, запишем:

|[pic], |(2.14)|

где [pic], [pic] и [pic] жесткости звеньев по координатам [pic],

[pic] и [pic] соответственно.

Подставляя (2.14) , (2.11) и (2.10) в (2.8) получим:

|[pic] |(2.15)|

Для решения этой системы нужно выразить скорость и ускорение массы m

через их составляющие:

|[pic]. |(2.16)|

Поскольку в манипуляторе суммарную жесткость удобно экспериментально

определять, прикладывая соответствующее усилие к его рабочему органу, и так

как в конечном итоге необходимо определить положение массы m, координаты

которой выражаются как [pic], то для этого достаточно сложить уравнения в

выражении (2.15):

|[pic] |(2.17)|

или:

|[pic], |(2.18)|

где С ( суммарная жесткость звеньев манипулятора.

Анализ показывает, что величина C является переменной и зависит от

плеча приложения l сосредоточенной массы m.

Преобразуя (2.18), получаем уравнение описывающие переходный процесс

в системе:

|[pic]. |(2.19)|

Уравнение (2.19) легко решается классическим способом при следующих

начальных условиях:

|[pic] [pic], |(2.20)|

где [pic] - скорость рабочего органа манипулятора в момент выхода на

конечную точку.

Выражение (2.19) представляет собой линейное дифференциальное

уравнение второго порядка. Будем искать частное решение уравнения в виде:

|[pic], |(2.21)|

где [pic] и [pic] ( произвольные постоянные, которые могут быть

определены из начальных условий: при t = 0; [pic] и [pic] ( корни

характеристического уравнения:

|[pic]. |(2.22)|

Решение уравнения (2.22) будет иметь вид:

|[pic] |(2.23)|

Определим произвольные постоянные [pic] и [pic], решая систему

уравнений:

|[pic]. |(2.24)|

Решение системы (2.24) будет иметь вид:

|[pic], |(2.25)|

если учесть (2.20) то:

|[pic] |(2.26)|

подставляя (2.26) в (2.21) и с учетом (2.23) имеем:

|[pic] |(2.27)|

где [pic] ( реальная часть; [pic] ( мнимая часть.

Тогда разделяя реальную и мнимую части в (2.27) получим:

|[pic]. |(2.28)|

Учитывая что:

|[pic], |(2.29)|

имеем:

|[pic] |(2.30)|

Преобразуя (2.30) получим решение уравнения (2.19):

|[pic] |(2.31)|

Прологарифмируем выражение (2.31) предварительно подставив в него

значение допустимой погрешности позиционирования:

|[pic], |(2.32)|

где [pic] ( допустимая погрешность позиционирования.

Преобразуя (2.32) получим выражение для определения времени

переходного процесса:

|[pic] |(2.33)|

Для расчета жесткости C и коэффициента демпфирования [pic] в модели

используются экспериментально полученные зависимости. В частности

коэффициент демпфирования определяется по осциллограмме затухания колебаний

рабочего органа.

Таким образом, время переходного процесса, для данного типа

манипулятора при заданной массе положении рабочего органа определяется по

выражению (2.33), в котором коэффициенты жесткости и демпфирования

предварительно определены экспериментально.

2.2 Анализ переходных процессов в манипуляторе МРЛ-901П

Источниками возникновения переходных процессов в манипуляторе МРЛ-901П

являются: зубчатая ременная передача линейного модуля манипулятора и его

свободная консоль.

На этапе зондирующих экспериментов исследовались парные зависимости

коэффициента демпфирования от натяжения зубчатого ремня и смещения рабочего

органа вдоль консоли. Результаты анализа полученных осциллограмм сведены в

таблицы 2.1 и 2.2.

Анализ результатов показывает, что натяжение зубчатого ремня

существенным образом влияет на коэффициенты демпфирования модуля линейного

перемещения: так при увеличении начального натяжения ремня от минимального

значения ? = 0,03778 до максимального ? = 0,00667 (в исследуемых приделах)

коэффициент демпфирования уменьшается в 3 раза. Таким образом, можно

сделать вывод о том, что демпфирование линейного модуля с зубчатой ременной

передачей может задаваться и варьироваться в широких пределах, как на этапе

конструирования, так и в процессе его эксплуатации.

|Табл. 2.1 |

|амм | | | | | |

|ых | | | | | |

|ора | | | | | |

|на | | | | | |

|вдоль |с. | | | | |

|0 |0,057 |17,54 |0,956 |369 |0,6 |

|175 |0,067 |15 |0,693 |227,55 |0,9 |

|350 |0,08 |12,5 |0,446 |122,65 |1,2 |

Анализ результатов исследований показывает, что смещение рабочего

органа манипулятора МРЛ-901П вдоль свободной консоли, также как и

| |

|Табл. 2.2 |

|в | | | | | | | | | | |

|ого | | | | | | | | | | |

|с | | | | | | | | | | |

|ой | | | | | | | | | | |

|чей | | | | | | | | | | |

| | | | |Т, с. | |т | |вания ?,| | |

| | | | | | |затухани| |кг/c | | |

| | | | | | |я ? | | | | |

| |1 |3 | |0,1 | |1,15 | |460,15 | | |

| |2 |1 | |0,102 | |1,23 | |482,35 | | |

|1 |3 |12 |0,03778 |0,113 |0,105 |1,383 |1,253 |489,72 |477,33 |0,4 |

| |4 |7 | |0,108 | |1,258 | |465,91 | | |

| |5 |11 | |0,102 | |1,244 | |488,52 | | |

| |1 |4 | |0,125 | |0,85 | |272,12 | | |

| |2 |15 | |0,128 | |0,815 | |254,68 | | |

|2 |3 |10 |0,02 |0,117 |0,12 |0,756 |0,8 |258,3 |266,67 |0,45 |

| |4 |9 | |0,115 | |0,79 | |275,08 | | |

| |5 |14 | |0,115 | |0,789 | |273,17 | | |

| |1 |6 | |0,12 | |0,486 | |162,11 | | |

| |2 |5 | |0,12 | |0,493 | |164,25 | | |

|3 |3 |3 |0,0067 |0,132 |0,128 |0,496 |0,504 |150,32 |157,47 |0,6 |

| |4 |8 | |0,14 | |0,544 | |155,43 | | |

| |5 |2 | |0,128 | |0,5 | |155,24 | | |

увеличение начального натяжения ремня, вызывает уменьшение коэффициентов

демпфирования, что существенно (в 2…3 раза) увеличивает время полного

затухания собственных колебаний рабочего органа (см. табл. 2.1 и 2.2), и,

как следствие снижает реальную производительность.

Смещение рабочего органа относительно основания и увеличение

натяжения ремня приводит также к уменьшению частоты собственных колебаний

манипулятора, что должно учитываться при использовании его в

технологических процессах, связанных с резонансными явлениями.

Комплексные исследования демпфирующих свойств манипулятора

осуществлялись с целью установления численной зависимости коэффициента

демпфирования от величины начального натяжения ремня и смещения рабочего

органа вдоль консоли. В качестве функции отклика выбиралась линейная

модель. База данных для построения плана экспериментов сведена в табл. 2.

Основные уровни и интервалы варьирования выбирались на основе

результатов зондирующих экспериментов, а также исследований жесткости и

точносных параметров манипулятора МРЛ-901П.

|Табл. 2.3 |

|ремня ? |X1 |0...0,04 |0,02 |0,013 |

|рабочего органа |X2 |0...350 |175 |175 |

Матрица планирования и результаты экспериментов сведены в табл. 2.4.

Проводилась полная статистическая обработка результатов

экспериментов, позволившая получить адекватную модель зависимости

коэффициентов демпфирования от исследуемых факторов в виде:

|[pic] |(2.34)|

Поверхность отклика представлена на рис. 2.2. Выражение (2.34)

позволяет получить численное значение коэффициента демпфирования,

необходимое для расчета продолжительности переходного процесса при

позиционировании.

|Табл. 2.4 |

|а | | | | | | | |

|и | | | | | | | |

|в по | | | | | | | |

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6

МЕНЮ

Построение и исследование динамической модели портального манипулятора

ИНТЕРЕСНОЕ