рефераты бесплатно
 

МЕНЮ


Основы цифровой техники

импликант меньше ранга минтермов, объединенных в контур, на К единиц.

4. Логические выражения для блоков объединить значками дизъюнкции.

Полученное выражение представляет собой минимизированную дизъюнктивную

нормальную форму (МДНФ) логической функции.

Пример 3. Минимизировать с помощью карты Карно логическую функцию:

[pic]

Решение. Упрощаемая функция трех переменных задана своей СДНФ. Выбираем

соответствующую карту Карно (рис. 3,а) и обозначаем ее ячейки,

соответствующие минтермам функции. Так как упрощаемая функция содержит пять

минтермов, то и на карте Карно должно быть пять обозначенных ячеек (рис.4).

| |[pic] |[pic] |

| | | |

|[pic| | | | | |

|] | | |1 |1 |1 |

|х1 | | | | | |

| | | |1 |1 | |

| | | | | |

| | |[pic|[pic] |[pic|

| | |] | |] |

Рис. 4. Пример минимизации функции [pic]

После заполнения карты образуем контуры, покрывающие все обозначенные

ячейки (в соответствии с правилами, изложенными выше). Для рассматриваемой

функции достаточно образовать два контура. В первый входят четыре ячейки,

находящиеся в средней части карты; во второй – две крайние ячейки верхней

строки карты.

Логическое выражение для первого контура - [pic] (так как только по

[pic] совпадают обозначения ячеек, входящих в первый блок); для второго

контура - [pic]. В результате получаем МДНФ функции: [pic].

1.6 Минимизация частично определенных

и инверсных логических функций

Частично (не полностью) определенными называют функции, значения

которых заданы лишь для части множества возможных наборов их переменных.

Такие функции достаточно часто встречаются в задачах проектирования КЦУ,

где их происхождение обусловлено тем, что некоторые сочетания (комбинации)

входных переменных при работе КЦУ не имеют места.

Наборы переменных, для которых функция не определена, называют

избыточными или запрещенными. Например, избыточные наборы будут иметь место

при реализации двоично-десятичного кода, т.е. при представлении десятичных

цифр от 0 до 9 двоичным кодом. Действительно, для такого представления

необходимо использовать четыре двоичные переменные (четыре двоичных

разряда), и из общего числа 16 наборов этих переменных использовать только

первые 10. Следовательно, 6 наборов оказываются избыточными.

При минимизации частично определенных функций производят их

доопределение, которое состоит в произвольном задании значений функции,

соответствующих избыточным наборам. Эти значения можно выбирать равными 0

или 1. Доопределение выполняют таким образом, чтобы результирующая МДНФ

функции была наиболее простой (при этом учитывается возможность выполнения

дополнительных склеиваний при доопределении функции).

Пример 4. Минимизировать логическую функцию, заданную своей таблицей

истинности (рис. 5, а). Значения функции, соответствующие трем последним

наборам входных переменных, не определены (что отмечено * в столбце yисх).

На карте Карно рассматриваемой функции (рис. 5, б) ячейки для избыточных

наборов также отмечены звездочками. Доопределение функции единицами для

всех избыточных наборов позволяет представить ее МДНФ в виде:

[pic]

Для сравнения приведем выражение исходной функции:

[pic],

которую без приема доопределения упростить невозможно.

В пределах определения (на допустимых наборах входных переменных)

значения функций уисх и удоопр совпадают. Выяснение тождественности этих

функций на запрещенных наборах не представляет интереса, так как при работе

КЦУ они не будут иметь места.

Сократить трудоемкость минимизации иногда можно за счет работы не с

самой заданной функцией, а с ее инверсией. Если число единиц в таблице

истинности превышает половину числа наборов переменных, то СДНФ для

инверсии функции будет содержать меньше конъюнкций, чем СДНФ для прямой

функции.

|х1 |х2 |х3 |уисх |удоопр|

|0 |0 |0 |0 |0 |

|0 |0 |1 |0 |0 |

|0 |1 |0 |0 |0 |

|0 |1 |1 |1 |1 |

|1 |0 |0 |1 |1 |

|1 |0 |1 |* |1 |

|1 |1 |0 |* |1 |

|1 |1 |1 |* |1 |

а)

| |[pic] |х1 |

| | | |

|[pic| | | | | |

|] | | | |* |1 |

|х3 | | | | | |

| | | |1 |* | |

| | | | |

| | |х2 |[pic] |

| |[pic| | |

| |] | | |

б)

Рис. 5. Таблица истинности (а) и карта Карно (б)

частично определенной функции

Пример 5. Упростить функцию, заданную таблицей истинности (рис. 6).

Решение. СДНФ требуемой (прямой) функции

[pic]

|х1 |х2 |х3 |y |[pic] |

|0 |0 |0 |1 |0 |

|0 |0 |1 |1 |0 |

|0 |1 |0 |1 |0 |

|0 |1 |1 |1 |0 |

|1 |0 |0 |1 |0 |

|1 |0 |1 |0 |1 |

|1 |1 |0 |1 |0 |

|1 |1 |1 |0 |1 |

Рис. 6. Таблица истинности функции [pic]

Поскольку столбец у содержит шесть единиц из восьми возможных, то

столбец для [pic] содержит лишь две единицы, что и отражено в таблице (рис.

6).

Для [pic] СДНФ будет значительно проще:

[pic]

Последнее выражение более обозримо, чем для у, и легко минимизируется:

[pic], откуда [pic].

1.7 Преобразование минимальных форм логических функций к виду, реализуемому

ЛЭ заданного функционально полного набора

Любая логическая функция, как было сказано выше, может быть записана в

виде СДНФ или СКНФ. Следовательно, любую функцию n переменных можно

представить с помощью набора трех элементарных функций: инверсии,

дизъюнкции и конъюнкции. Возможны и другие наборы функций, с помощью

которых может быть выражена произвольная функция.

Набор элементарных булевых функций называют функционально полным (ФПН),

если любая функция произвольного числа переменных может быть представлена

суперпозицией функций этого набора.

Набор логических функций инверсия (НЕ), дизъюнкция (ИЛИ) и конъюнкция

(И) получил наименование основного (ОФПН).

Среди других наборов функций, образующих ФПН, особый интерес

представляют так называемые монофункциональные наборы, содержащие всего

одну булеву функцию. Таковыми, в частности, являются набор, состоящий

только из функции «штрих Шеффера» (И-НЕ) и набор, состоящий только из

функции «стрелка Пирса» (ИЛИ-НЕ).

1.8 Минимальные формы в монофункциональных базисах

Основой для получения минимальных форм логических функций в базисах

функций штрих Шеффера и стрелка Пирса может служить МДНФ, полученная в

результате решения задачи минимизации.

МДНФ представляет собой дизъюнкцию простых импликант и может быть

представлена в обобщенном виде:

[pic] (1)

где Ji – символ импликант, а d - их количество.

Формулы функций штрих Шеффера и стрелка Пирса для случая r переменных

имеют вид:

[pic] (2)

[pic][pic] (3)

Для перехода от МДНФ к минимальной форме в базисе функции штрих Шеффера

конъюнкции и дизъюнкции в выражении (1) должны быть заменены функциями вида

(2). Это достигается двукратным инвертированием (1) и применением теоремы

де Моргана-Шеннона. Первое инвертирование (1) с учетом указанной теоремы

приводит к соотношению:

[pic] (4)

Второе инвертирование с учетом закона двойного отрицания дает:

[pic] (5)

Каждый из членов [pic] соотношения (5) и все это соотношение в целом

представляет собой функции штрих Шеффера.

Следовательно, (5) выражает переход от МДНФ к искомой форме формулы в

базисе функций штрих Шеффера. Формулу (5) называют оптимальной

конъюнктивной инверсной формой логической функции или оптимальным инверсным

произведением.

Переход от МДНФ к минимальной форме в базисе функций стрелка Пирса

осуществляется заменой импликант в (1) функциями вида (3). Обозначим

преобразованную в соответствии с теоремой де Моргана-Шеннона инверсию

импликанты [pic] символом Gi. Тогда (4) можно переписать в виде:

[pic] (6)

Трехкратное инвертирование (6) приводит к искомой форме формулы в

базисе функций стрелка Пирса

[pic] (7)

Каждый член дизъюнкции в (7) и инверсия всей дизъюнкции представляет

собой функции стрелка Пирса; заключительное инвертирование также может быть

выполнено элементами стрелка Пирса (ИЛИ - НЕ). Формулу (7) называют

оптимальной дизъюнктивной инверсной формой логической функции или

оптимальной инверсной суммой.

Пример. 6. Представить логическую функцию «равнозначность двух

переменных» в базисе функций штрих Шеффера и стрелка Пирса.

Решение. СДНФ функции равнозначность двух переменных (приведена выше)

имеет вид:

[pic] (8)

Первое инвертирование (8) с учетом теоремы де Моргана приводит к

выражению:

[pic].

Второе инвертирование с учетом закона двойного отрицания приводит к

искомой форме в базисе функций штрих Шеффера:

[pic] (8.1)

Четырехкратное инвертирование (8.1) дает искомую форму в базисе функций

стрелка Пирса:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic] (8.2)

1.9 Проектирование схемы КЦУ в заданном базисе ЛЭ

Каждая из элементарных логических функций, образующих ОФПН, может быть

воспроизведена (реализована) соответствующими ЛЭ: инверторами (НЕ),

дизъюнкторами (ИЛИ) и конъюнкторами (И), образующими ОФПН ЛЭ.

Аналогичным образом могут быть реализованы функции монофункциональных

наборов: функции штрих Шеффера – с помощью ЛЭ «И-НЕ», функции стрелка Пирса

– с помощью ЛЭ «ИЛИ -НЕ», образующих монофункциональные наборы ЛЭ.

Основой для проектирования КЦУ в ОФПН ЛЭ служит минимальная форма

логической функции – МДНФ или МКНФ. Основой для проектирования КЦУ в

монобазисном наборе ЛЭ служит оптимальное инверсное произведение или

оптимальная инверсная сумма.

Пример 7. Спроектировать схему КЦУ равнозначности двух переменных а) в

ОФПН ЛЭ, б) в монофункциональном наборе ЛЭ «И -НЕ», в) в монофункциональном

наборе ЛЭ «ИЛИ -НЕ».

Решение. Основой для проектирования являются выражения (8), (8.1) и

(8.2) соответственно. Схемы КЦУ, реализующие функцию “равнозначность двух

переменных”, приведены на рис.7.

1.10 Проектирование многовыходных КЦУ

На практике часто встречается необходимость проектирования КЦУ, имеющих

несколько (m) выходов. В этих случаях для синтеза схемы устройства можно

воспользоваться рассмотренной выше последовательностью действий, если

представить устройство в виде совокупности соответствующего числа (m) КЦУ,

имеющих общие входы. Другими словами, проектирование многовыходного КЦУ

сводится к синтезу m одновыходных схем КЦУ, имеющих общие входы х1, х2, …,

хn, выходы которых в совокупности образуют выходы устройства: у1, у2, …,

уm.

Пример 8. Спроектировать схему КЦУ, вычисляющего значения функции

у=х2+3, если х может принимать целые значения в диапазоне от 0 до 3.

Решение. Представим функцию, подлежащую реализации в виде таблицы

(рис.8.)

В проектируемом устройстве как аргумент х, так и функция у должны быть

представлены в виде двоичных кодов. Перевод х и у в двоичные коды

осуществляется по известным правилам преобразования десятичных чисел в

двоичные коды. Число разрядов n и m, необходимых для представления х и у в

двоичном коде, определяется согласно соотношениям:

n ? log2(xmax+1), m ? log2(ymax+1). (9)

Из (9) находим число двоичных разрядов, необходимых для представления

аргумента х и функции у в виде ближайших больших целых чисел:

n ? log2(3+1)=2, m ? log2(12+1)=4.

Таким образом, проектируемое устройство должно иметь два входа, на

которые поступают двоичные разряды аргумента х1 и х2 и четыре выхода, на

которых формируются двоичные разряды функции у1, у2, у3, у4 (рис.9, а). Для

получения уравнений связи выходных переменных (реакций) с входными

переменными (воздействиями) изобразим таблицу истинности (функционирования)

устройства (рис. 9, б).

|х2|х1|у4|у3|у2|у1|

|21|20|23|22|21|20|

|0 |0 |0 |0 |1 |1 |

|0 |1 |0 |1 |0 |0 |

|1 |0 |0 |1 |1 |1 |

|1 |1 |1 |1 |0 |0 |

а) б)

Рис. 9. Условное графическое изображение (а)

и таблица функционирования (б) проектируемого устройства

Из таблицы функционирования для каждого выхода уi (i=1, 2, 3, 4)

получим уравнения связи в виде СДНФ:

[pic],

[pic],

[pic].

Упростим (минимизируем) полученные выражения (выражение для у4 не

упрощается):

[pic],

[pic], (10)

[pic].

По полученным МДНФ (10) синтезируем схему устройства, используя ОФПН ЛЭ

(рис. 10).

Рис. 10. Схема КЦУ, вычисляющего значения функции у=х2+3,

(область определения х: 0, 1, 2, 3)

2. Задание на лабораторную работу

2.1. Для каждого КЦУ, предусмотренного заданием (см. табл. 1):

2.1.1. Составить таблицу истинности;

2.1.2. Составить логические выражения функций, реализуемых КЦУ,

представленные в СДНФ и СКНФ. Доказать тождественность этих форм.

2.1.3. Минимизировать при возможности полученные выражения, т.е. получить

выражения для МДНФ используя: а) метод непосредственных преобразований; б)

карт Карно.

2.1.4. Преобразовать полученные в п. 2.1.3. МДНФ к виду, реализуемому в

монофункциональном базисе ЛЭ «И-НЕ».

2.1.5. Составить схему КЦУ, используя: а) ЛЭ ОФПН; б) монофункционального

набора ЛЭ «И- НЕ».

2.1.6. Собрать схемы КЦУ на стенде и проверить правильность их

функционирования.

Примечание: пункты 2.1.1 – 2.1.5 задания должны быть выполнены дома.

Таблица 1

|Функция, |№ бригады |

|реализуемая КЦУ | |

| |1 |2 |3 |4 |5 |

|Неравнозначность двух переменных |+ | | | | |

|Голосования (мажоритарного | |+ | | | |

|контроля) «2 из 3» | | | | | |

|Равнозначности трех переменных | | |+ | | |

|Четности числа «1» в трехразрядном| | | |+ | |

|двоичном слове | | | | | |

|Нечетности числа «1» в | | | | |+ |

|трехразрядном двоичном слове | | | | | |

|Вычисление значений функции | | | | | |

|у=[pic], (х принимает целые | | | | | |

|значения в диапазоне от 0 до 4), A|+ |+ |+ |+ |+ |

|- № бригады. | | | | | |

3. Содержание отчета

Для каждого спроектированного и исследованного в соответствии с

заданием КЦУ должны быть приведены:

3.1. Таблица истинности и логические выражения функции, реализуемых КЦУ,

представленные в СДНФ и СКНФ.

3.2. Карты Карно, отражающие ход минимизации логических функций.

3.3. Преобразования, иллюстрирующие переход от МДНФ к оптимальному

инверсному произведению.

3.4. Схемы КЦУ, реализованные в ОФПН ЛЭ и монофункциональном наборе ЛЭ «И-

НЕ».

4. Контрольные вопросы

1. Основные постулаты (аксиомы) и законы алгебры логики.

2. Понятия минтермов и макстермов. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные

формы представления функций.

3. Понятия смежных минтермов, операции их склеивания, импликант.

4. Минимизация логических функций с помощью карт Карно.

5. Понятие функционального полного набора (ФПН). Примеры ФПН.

6. Последовательность (алгоритм) приведения МДНФ к виду, реализуемому в

монофункциональном наборе ЛЭ,

7. Реализовать в монофункциональном наборе ЛЭ «И-НЕ» логические функции:

инверсия, дизъюнкция трех переменных, конъюнкция трех переменных.

8. Реализовать в монофункциональном наборе ЛЭ «ИЛИ -НЕ» логические функции:

инверсия, дизъюнкция трех переменных, конъюнкция трех переменных.

9. Оцените аппаратурные затраты (количество ИС), потребные для реализации

КЦУ «равнозначность двух переменных» а) в ОФПН ЛЭ, б) в

монофункциональных наборах ЛЭ. Какое схемотехническое решение является

предпочтительным?

10. В чем суть операции доопределения логической функции?

11. Сколько входов и выходов должно иметь цифровое устройство, вычисляющее

значение функции y= 0.5·x+4, если х может принимать целые значения в

диапазоне от 0 до 10?

12. Какого типа ЛЭ необходимы для построения схемы, реализующей логическую

функцию y= x1·x2+x1·x3+x2·x3? Укажите потребное количество ЛЭ и ИС.

Лабораторная работа 3

Проектирование и исследование дешифраторов

Цель работы: изучение принципов проектирования дешифраторов в заданном

базисе логических элементов, а также исследование функционирования

спроектированных дешифраторов и интегральных схем дешифраторов.

1. Теоретические основы лабораторной работы

Дешифратором (декодером) называется цифровое устройство комбинационного

типа, осуществляющее преобразование n-разрядного двоичного кода в m-

разрядный унитарный код.

Унитарный код (код «1 из m») может быть прямым (одна «1» в некотором

разряде m-разрядного двоичного кода и m-1 нулей) или обратным (один «0» и m-

1 единиц).

Примеры записи унитарного кода для m=8:

прямого – 0001 0000, 0100 0000, ...

обратного – 1101 1111, 0111 1111, ...

Схема дешифратора имеет n входов, на которые поступают соответствующие

разряды двоичного кода хn, xn-1, …, x2, x1 и m выходов, на которых

формируются разряды унитарного кода уm-1, ..., у1, у0. При этом дешифратор

реализует m функций вида:

[pic] (1)

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5


ИНТЕРЕСНОЕ



© 2009 Все права защищены.