Контрольная работа: Сопротивление материалов

– момент сопротивления сечения при изгибе; для сечения прямоугольной формы

где ммм – ширина прямоугольного сечения балки;

ммм – высота прямоугольного сечения балки;

м3;

– допускаемые напряжения при изгибе; для дерева принимаем МПа.

Проверяем несущую способность деревянной балки

ПаМПа,

что значительно больше допускаемых напряжений. Следовательно, несущая способность балки не соблюдается.

Ответ: Прочность балки недостаточна.

Задача 5

Для двухопорной балки подобрать сечение двутавра из условия прочности.

Проверить прочность по касательным напряжениям. Построить эпюры и для сечений, в которых и . Нагрузку принять состоящей: 1) из 80% постоянной, коэффициент перегрузки 2) из 20% временной, коэффициент перегрузки .

Данные для задачи своего варианта взять из табл. 5 и схемы на рис. 12.

Таблица 5

Вариант			, кН/м	, кН∙м
	м
49	4	4	12	6

Решение

1. Определяем действительные значения нагрузок, действующих на балку, используя метод расчета предельного состояния по несущей способности.

При этом расчетное усилие в балке (в нашем случае и ) определяем как сумму усилий от каждой нормативной нагрузки (постоянной и временной) с учетом соответствующих каждой нагрузке коэффициентов перегрузки. В результате получим

кН∙м;

кН/м.

2. Выполняем расчетную схему согласно исходных данных (рис.6,а).

Отбросим опоры и заменим их влияние на балку опорными реакциями и (рис.6, б). Учитывая симметричность конструкции, получим

кН.

2. Балка имеет три участка. Обозначим через расстояние от левого или правого концов балки до некоторого его сечения. Составим выражения для поперечных сил и изгибающих моментов , возникающих в поперечных сечениях балки и по ним установим значения ординат эпюр в ее характерных сечениях.

Участок I :

;

При

кН;

кН∙м.

При м

кН;

кН∙м.

Участок II :

;

При м

кН;

кН∙м.

При м

кН;

кН∙м.

Так как на концах участка II поперечная сила меняет свой знак с плюса на минус, то на данном участке изгибающий момент принимает максимальное значение.

Из условия найдем абсциссу сечения, в котором действует изгибающий момент :

откуда

м.

Тогда при м

кН∙м.

Участок III :

;

При

кН;

При м

кН;

кН∙м.

3. По полученным ординатам строим эпюры и балки (рис.6, в, г).

Рис. 3. Расчетные схемы к задаче 3

4. Определяем из условия прочности необходимый момент сопротивления сечения

, (1)

где – максимальный изгибающий момент, действующий в поперечном сечении балки. Из эпюры изгибающих моментов имеем кН∙м;

– момент сопротивления сечения при изгибе;

– допускаемые напряжения при изгибе; принимаем для стали Ст3

МПа.

Из выражения (1) находим требуемый момент сопротивления сечения

м3см3.

Для подбора сечения балки в виде двутавра используем таблицу сортамента [1, с.283], откуда выбираем для заданного сечения балки двутавр № 40, для которого см3. Перегрузка при этом составит

что вполне допустимо (< 3%).

5. Построим эпюры и для сечений, в которых и .

Сечение С (расположено посередине пролета ). В данном сечении действуют только нормальные напряжения, так как поперечная сила равна нулю.

Нормальные напряжения вычисляем по формуле Навье

В данном сечении кН∙м, кН.

Данные для двутавра №40: мм; мм; мм; мм; см2; см4; см3.

Обозначим характерные точки по высоте сечения (рис.7).

Точка 1:

ммм;

ПаМПа.

Поскольку изгибающий момент положительный, то точки 1 и 2 лежат в сжатой зоне и напряжения в этих точках имеют отрицательный знак.

Точка 2:

ммм;

ПаМПа.

Точка 3:

, так как . Ось, проходящая через точку 3, называется нейтральной осью.

Точки 4 и 5. В этих точках значения нормальных напряжений те же, что и в точках 2 и 1, только положительные, так как точки 4 и 5 лежат в растянутой зоне.

МПа;

МПа.

По полученным значениям строим эпюру (рис.7).

Рис.7. Эпюра нормальных напряжений в сечении С

Сечение D. Здесь действует максимальная поперечная сила кН, а изгибающий момент равен кН∙м.

Касательные напряжения вычисляем по формуле

В точках 1 и 5 (рис.8).

Точки 2 и 4. Вычисляем статический момент площади поперечного сечения

где – отсеченная часть площади поперечного сечения;

– координата центра тяжести отсеченной площади.

м3.

При мм

ПаМПа.

При мм

ПаМПа.

Точка 3. Это точка, расположенная на уровне нейтральной оси. Для нее имеем [2, с.257]

м3.

ПаМПа.

Нормальные напряжения в сечении D

ПаМПа (сжатие);

МПа (растяжение).

Строим эпюры напряжений в сечении D (рис.8).

Рис. 8. Эпюра касательных напряжений в сечении А

Максимальное касательное напряжение имеет место на нейтральной линии, то есть МПа.

Допускаемое касательное напряжение по 3-й теории прочности принимаем равным МПа.

Следовательно, для балки двутаврового сечения

МПа<96МПа.

Условие прочности выполняется.

Задача 6

Подобрать сечение равноустойчивой центрально сжатой колонны из двух швеллеров или двутавров (в зависимости от варианта выполняемой задачи), соединенных планками способом сварки. Материал - сталь Ст3, расчетное сопротивление МПа. Данные для задачи своего варианта взять из табл. 7 и рис. 13. Принять .

Вариант	Схема на рис.	, м	, МН
				% от
49	V	6	0,6	30	70	1,3	1

Решение

1. Определяем действительное значение нагрузки, действующей на колонну, используя метод расчета предельного состояния по несущей способности.

При этом расчетное усилие в колонне (в нашем случае ) определяем как сумму усилий от каждой нормативной нагрузки (постоянной и временной) с учетом соответствующих данной нагрузке коэффициентов перегрузки. В результате получим

МНкН.

2. Равноустойчивость колонны во всех направлениях будет обеспечена при равенстве моментов инерции относительно осей и . Момент инерции сечения относительно оси не зависит от расстояния , поэтому подбор сечения произведем, учитывая это обстоятельство.

3. Принимая в качестве первого приближения значение коэффициента , находим площадь поперечного сечения колонны

м2см2.

Из таблиц сортамента [1, с.284] выбираем два швеллера № 30, для которых суммарная площадь сечения равна см2.

Наименьший радиус инерции из той же таблицы для составного сечения

см.

Определяем гибкость колонны

Коэффициент из табл.X.1[1] получаем равным .

Повторим расчет, принимая

Далее находим

м2см2.

Из таблиц сортамента [1, с.284] выбираем два швеллера № 20а, для которых суммарная площадь сечения равна см2; см. Гибкость колонны при этом будет равна