Проявление симметрии в различных формах материи

атомного строения, которая обуславливает также и

симметрию физических свойств кристалла.

В наиболее общей формулировке симметрия-

неизменность (инвариантность) объектов и законов

при некоторых преобразованиях описывающих их

переменных. Кристаллы – объекты в трехмерном

пространстве, поэтому классическая теория

симметрии кристаллов- теория симметричных

преобразований в себя трехмерного пространства с

учетом того,что внутренняя атомная структура

кристаллов дискретная, трехмерно- периодическая.

При преобразованиях симметрии пространство не

деформируется, а преобразуется как жесткое

целое. Такие преобразования называются

ортогональными или изометрическими. После

преобразования симметрии части объекта,

находившиеся в одном месте, совпадают с частями,

находившимися в другом месте. Это означает, что

в симметричном объекте есть равные части

(совместимые или зеркальные).

Симметрия кристаллов проявляется не только

в их структуре и свойствах в реальном трехмерном

пространстве, но также и при описании

энергетического спектра электронов кристалла,

при анализе процессов дифракции нейтронов и

дифракциииэлектронов в кристаллах с

использованием обратного пространства.

Кристаллу может быть присуща не одна, а

несколько операций симметрии. Так, кристалл

кварца (рис.1,а) совмещается с собой не только

при повороте на 120°вокруг оси 3 (операция g1),

но и при повороте вокруг оси 3 на 240° (операция

g2), а также при поворотах на 180° вокруг осей

2x, 2y, 2w(операции g3, g4, g5). Каждой операции

симметрии может быть сопоставлен элемент

симметрии – прямая, плоскость или точка,

относительно которой производится данная

операция. Например, ось 3 или оси 2x, 2y, 2w

являются осями симметрии, плоскость m (рис.1,б).

– плоскостью зеркальной симметрии и т.п.

Совокупность операций симметрии {g1, g2,…,gN}

данного кристалла образует группу симметрии G(

(g1,g2,…gN) в смысле математической теории

групп. Последовательность проведения операций

симметрии также является операцией симметрии. В

теории групп это обозначается как произведение

операций:g1g2=g3. Всегда существует операция

идентичности g0, ничего не изменяющая в

кристалле, называемая отождествлением, она

геометрически сооответствует неподвижности

объекта или повороту его на 360° вокруг любой

оси. Число операций, образующих группу,

называется порядком группы.Для описания

кристаллов используют различные группы

симметрии, из которых важнейшими являются

точечные группы симметрии, описывающие внешнюю

форму кристаллов; их называют также

кристаллографическими классами; пространственные

группы симметрии, описывающие атомную структуру

кристаллов.

Точечные группы симметрии. Операциями

точечной симметрии являются: повороты вокруг оси

симметрии порядка N на угол, равный 360°/ N

(рис. 2, а);отражение в плоскости симметрии т

(зеркальное отражение, рис. 2,б); инверсия 1

(симметрия относительно точки, рис.2,в);

инверсионные повороты N (комбинация поворота на

угол 360°/Н с одновременной инверсией, рис. 2,

г).

Вместо инверсионных поворотов иногда

рассматриваются эквивалентные им зеркальные

повороты N. Геометрически возможные сочетания

операций точечной симметрии определяют ту или

иную точечную группу симметрии, к-рая

изображается обычно в стереографической

проекции. При преобразованиях точечной симметрии

по крайней мере одна точка объекта остаётся

неподвижной — преобразуется сама в себя. В ней

пересекаются все элементы симметрии, и она

является центром стереографической проекции.

Примеры кристаллов, относящихся к различным

точечным группам, даны на на рис.3.

В кристаллах ввиду наличия кристаллической

решётки возможны только операции и

соответственно оси симметрии до 6-го порядка

(кроме 5-го; в кристаллической решётке не может

быть оси симметрии 5-го порядка, т. к. с помощью

пятиугольных фигур нельзя заполнить пространство

без промежутков).

Для описания точечной группы симметрии

достаточно задать одну или несколько порождающих

её операции симметрии, остальные её операции

(если они есть) возникнут в результате

взаимодействия порождающих.

Группы, содержащие лишь повороты, описывают

кристаллы, состоящие только из совместимо равных

частей (группы 1-го рода). Группы, содержащие

отражения или инверсионные повороты, описывают

кристаллы, в которых есть зеркально равные части

(группы 2-го рода). Кристаллы, описываемые

группами 1-го рода, могут кристаллизоваться в

двух энантиоморфных формах («правой» и «левой»,

каждая из к-рых не содержит элементов симметрии

2-го рода), по зеркально-равных друг другу

Группы симметрии кристаллов несут в себе

геометрический смысл: каждой из операций gi(G

соответствует, например, поворот вокруг оси

симметрии, отражение в плоскости. Некоторые

точечные группы в смысле теории групп,

учитывающей лишь правила взаимодействия операций

gi gi = gi в данной группе (по не их

геометрический смысл), оказываются одинаковыми,

или изоморфными друг другу.

Точечные группы описывают симметрию не

только кристаллов, но любых конечных фигур. В

живой природе часто наблюдается запрещённая в

кристаллографии точечная симметрия с осями 5-го,

7-го порядка и выше.

Предельные группы. Функции, которые

описывают зависимость различных свойств

кристалла от направления, имеют определённую

точечную симметрию, однозначно связанную с

группой симметрии огранения кристалла. Она либо

совпадает с ней, либо выше неё по симметрии.

В отношении макроскопических свойств

кристалл может описываться как однородная

непрерывная среда. Поэтому многие из свойств

кристаллов, принадлежащих к тем или иным

точечным группам симметрии, описываются т. н.

предельными точечными группами, содержащими оси

симметрии бесконечного порядка, обозначаемые

символом ?. Наличие оси ? означает, что объект

совмещается с собой при повороте на любой, в том

числе бесконечно малый угол. Зная группу

кристаллов, можно указать возможность наличия

или отсутствия в нем некоторых физических

свойств.

Пространственные группы симметрии.

Пространственная симметрия атомной

структуры кристаллов описывается

пространственными группами симметрии GІ. Они

называются также фёдоровскими в честь нашедшего

их в 1890 Е. С. Фёдорова; эти группы были

независимо выведены в том же году А. Шёнфлисом.

В противоположности точечным группам, которые

были получены как обобщение закономерностей форм

кристаллических многогранников пространственные

группы явились продуктом математическо-

геометрической теории, предвосхитившей

экспериментальные определения структуры

кристаллов с помощью дифракции рентгеновских

лучей.

Характерными для атомной структуры

кристаллов операциями являются 3 некомпланарные

трансляции а, b, с, к-рые задают трёхмерную

периодичность кристаллической решётки.

Кристаллическая решётка рассматривается как

бесконечная во всех трёх измерениях. Такое

математическое приближение реально, т. к. число

элементарных ячеек в наблюдаемых кристаллах

очень велико. Перенос структуры на векторы а,b,с

или любой вектор t=p1a + p2b + p3c, где p1, p2,

p3 ( любые целые числа, совмещает структуру

кристалла с собой и, следовательно, является

операцией симметрии (трансляционная симметрия).

Физическая дискретность кристаллического

вещества выражается в его атомном строении.

Пространственные группы GІ ( это группы

преобразования в себя трёхмерного однородного

дискретного пространства. Дискретность

заключается в том, что не все точки такого

пространства симметрически равны друг другу,

например атом одного и атом другого сорта,

ядро и электроны. Условия однородности и

дискретности определяет тот факт, что

пространственные группы ( трёхмерно

периодические, т. е. любая группа GІ содержит

подгруппу трансляций T ( кристаллич. решётку.

Вследствие возможности комбинирования в

решётке трансляций и операций точечной симметрии

в группах GІ кроме операций точечной симметрии

возникают операции и соответствующие им элементы

симметрии с трансляц. компонентой ( винтовые оси

различных порядков и плоскости скользящего

отражения (рис. 2, д, е)

Если задать внутри элементарной

ячейки какую-нибудь точку x (x1 x2 x3), то

операции симметрии преобразуют её в симметрично

равные ей точки во всём кристаллическом

пространстве; таких точек бесконечное множество.

Но достаточно описать их положение в одной

элементарной ячейке, и эта совокупность уже

будет размножаться трансляциями решётки.

Совокупность точек, выводимых из данной

операциями gi группы G ( x1, x2,…, xn-1, наз.

Правильной системой точек (ПСТ).

Для каждлй пространственной группы

имеются свои совокупности ПСТ. Правильная

система точек общего положения для каждой группы

одна. Но некоторые из ПСТ частного положения

могут оказаться одинаковыми для различных групп.

Роль пространственных групп симметрии

кристаллов. Пространственные группы симметрии

кристаллов ( основа теоретич. кристаллографии,

дифракционных и иных методов определения атомов

структуры кристаллов и описания кристаллических

структур.

Дифракционная картина, получаемая методом

рентгенографии, нейтронографии или

электрографии,позволяет установить симметрийные

и геом. Характеристики обратной решётки

кристалла, а следовательно и самой структуры

кристалла. Так определяют точечную группу

кристалла и элементарную ячейку; по характерным

погасаниям (отсутствие определённых

дифракционных рефлексов) определяют тип решётки

Браве и принадлежность к той или иной

пространственной группе. Размещение атомов в

элементарной ячейке находят по совокупности

интенсивностей дифракционных рефлексов.

Большую роль играют пространственные группы

в кристаллохимии. Определено более 100 тыс.

кристаллических структур неорганических,

органических и биологических соединений. Любой

кристалл относится к одной из 230

пространственных групп. Оказалось, что почти все

пространственные группы реализованы в мире

кристаллов. Хотя одни из них встречаются чаще,

другие реже.

В теоретической кристаллографии

пространственные группы позволяют развить теорию

разбиения пространства на равные области, в

часности полиэдрические.

Обобщённая симметрия.

В основе определения симметрии лежит

понятие равенства (1,б) при преобразовании

(1,а). Однако физические (и математические)

объект может быть равен себе по одним признакам

и не равен по другим. Например, распределение

ядер и электронов в кристалле антиферромагнетика

можно описать с помощью обычной пространственной

симметрии, но если учесть распределение в нём

магнитных моментов то “обычной”, классической

симметрии уже недостаточно. К подобного рода

обобщениям симметрии относятся антисимметрия и

цветная симметрия.

В антисимметрии в дополнение к трём

пространственным переменам x1, x2, x3 вводится

добавочная, 4-я переменная x4 = ± 1. Это можно

истолковать таким образом, что при

преобразовании (1,а) функция F может быть не

только равна себе, как в (1,б), но и

“антиравна”( изменит знак. Существует 58 групп

точечной антисимметрии Gі0 и 1651

пространственная группа антисимметрии Gі3

(шубниковские группы).

Если добавочная переменнал приобретает не

два значения, а больше (возможны 3, 4, 6,

8,…,48), то возникает т. н. цветная симметрия

Белова. Так, известна 81 точечная группа Gі0 и

2942 группы Gі0. Осн. Приложения обобщённой

симметрии в кристаллографии ( описание магн.

структур.

Найдены и другие группы антисимметрии

(кратной и др.). Теоретически выведены и все

точечные и пространственные группы

четырёхмерного пространства и более высоких

измерений. На основе рассмотрения симметрии (3 +

К)-мерного пространства можно также описывать

несоразмерные в трёх направлениях модулированной

структуры.

Другие обобщение симметрии ( симметрия

подобия, когда равенство частей фигуры

заменяется их подобием, криволинейная симметрия,

статистич. симметрия, вводимая при описании

структуры разупорядоченных кристаллов, твердых

растворов, жидких кристаллов и др.

3. БИОСИММЕТРИЯ

2.3.1.БИОСИММЕТРИЯ СТРУКТУРНАЯ—МОЛЕКУЛЯРНАЯ

Содержание этого вида симметрии мы раскроем

постепенно, переходя от нульмерных групп

симметрии биомолекул к одно-, дву-, трехмерным.

Из всех точечных групп симметрии для

«мономерных» молекул наиболее характерны лишь

две—п и п•т, при этом обычно п = 1, 2, ..., k,

где k—величина небольшая. Поэтому наиболее

распространенными группами здесь оказываются

соответственно (1) и т, 2•т, 3•т... Первая

характерна, например, почти для всех оптически

активных — асимметрических — мономерных или

олиго-сахаров, алкалоидов, многих аминокислот;

вторые группы наиболее характерны для всякого

рода оптически неактивных, часто запасных

веществ. Однако недиссимметрическими группами

иногда приходится описывать симметрию, подчас и

чрезвычайно метаболически активных веществ

(некоторые азотистые основания). Последнее

обстоятельство резко ограничивает эмпирическое

обобщение Г. Ф. Гаузе об обязательной

диссимметричности метаболически активных

соединений . Действительная картина здесь, таким

образом, оказывается сложнее.

Аминокислоты, пуриновые и пиримиднновые

азотистые основания, сахара и т.д., так или

иначе химически взаимодействуя,

«кристаллизуются» в полимерные, вытянутые в

одном направлении цепные молекулы—белки,

нуклеиновые кислоты, целлюлозу, крахмал гликоген

и другие соединени. Выше мы видели, что цепные

молекулы относятся к стержням, поэтому их

симметрия должна исчерпываться всего 17 типами,

охватывающими бесконечное множество видов

симметрии. Однако учет характера взаимодействия

между атомами «хребта» и боковых радикалов

цепной органической молекулы, тенденций перехода

в энергетически наиболее выгодное состояние и

других факторов позволяет утверждать, что п

природе наиболее часто должны встречаться ценные

молекулы, принадлежащие к 13 группам симметрии

стержней с N == 1 и к двум типам с винтовой осью

«порядка» М — 8м н 5л»/2 .

Учет симметрии возможных конфигураций

ковалентных связей главной оси— (2), (3), (3),

(4) делает потенциально возможным для отдельных

цепных молекул еще 30 групп, что дает всего 45

групп. Число «кристаллографических» групп цепных

структур равно, как известно, 75. С

возникновением живой природы число наиболее

часто встречающихся групп резко уменьшается—до

4. Эти группы—диссимметрнческие: t,t/2, SM/2,

где t—ось трансляции (обозначения

международные). Например, целлюлоза и "полй-l-

аланйн относятся к группе S2, полипептиды в

конфигурации ?-спирали — к S18/5.

Отдельные цепные молекулы могут давать

образования из 2, З... цепочек. Если они

связываются водородными связями, то их называют

сложными, цепными молекулами; ван-дер-

ваальсовыми (по принципу плотной упаковки; в

первом случае он не выдерживается) —пучками;

если сложная цепная молекула образована из

химически различных единиц, то она называется

комплексной цепной молекулой.

Сложные и комплексные цепные молекулы,

пучки возникают главным образом в биосистемах;

они оптически активны, представлены одной

энантиоморфой. Поэтому они относятся к

диссимметрическим группам стержней: tN, Sм N,

tN/2, SMN/2. Однако учет меньшей устойчивости

четверных и пятерных (чем двойных и тройных)

цепей, спирализации как общего способа

последовательной упаковки звеньев цепных молекул

делает наиболее вероятным для сложных цепных

молекул групп SM2, SM/2, SM3, пучков—Sм, Sм 3,

комплексных цепных молекул—Sм2. Так, сложная

цепная молекула ДНK относится к группе Sм/2,

полиадениловая кислота — к S 2, полиинозиновая —

к Sм 3, комплексная цепная молекула вируса

табачной мозаики — к S49/3 . Последняя построена

из уложенных по одноходовому пологому вунту

белковых субъединиц, внутри которых идет цепочка

РНК. На каждую субъединицу приходится три

нуклеотнда; на три оборота молекулы приходится

49 белковых субъединиц. Другие примеры

комплексной ценной молекулы—ДНК-протенды. Здесь

полипептидная цепь белка обвивает молекулу ДНК

по малой канавке. Так как эта цепочка одиночная,

симметрия нуклеопротеи-да — Sм , хотя самой ДНК

— Sм /2.

Другой способ объединения цепных молекул

приводит к плоским двумерным фигурам — слоям.

Причем сами цепные молекулы могут лежать в

плоскости слоя или перпендикулярно ему

(классический пример последних—парафины).

Наиболее распространены слои первого рода,

которые мы и рассмотрим.

Из 80 групп симметрии слоев для слоев из

цепных молекул из-за особенностей их

пространственного строения в первом приближении

возможными оказываются 42 группы. Ограничения

плотной упаковки доводят их число до 19, а

наиболее плотную упаковку фигур в слои позволяют

всего 4 группы симметрии:

tt'с, tt'1, S2t, З2с. При переходе к

биологическим, например мембранным, слоям число

групп симметрии с 19 понижается из-за

энантиоморфизма до 9: tt', tt'2, 2t, 21t, 2 (21)

t, 222, 2122, 21212, 21(2)21 (2) 2 (NВ:S2=21).

Классические примеры биологических слоев —

складчатые слои полипептидных цепей,

предложенные Паулингом и Кори3. Они могут быть

параллельные и антипараллельные. Другой их

пример — уже отмеченные мембранные слои.

При объединении полимеров в трех взаимно

перпендикулярных направлениях пространства

возникает ряд различных агрегатов, на одном

конце которого идеальные кристаллы, на другом —

совершенно аморфные вещества. Для живой природы

характерны формы веществ, в той или иной мере

отклоняющиеся от идеальных кристаллов и

абсолютно аморфных тел.

Здесь, с одной стороны, наблюдается

из-за богатства биополимеров Н-связями тенденция

к самоагрс-гированию, п как следствие к

образованию форм в той или иной мере

упорядоченных—лент, складчатых кристаллов,

кристаллов из слоев коротких цепных молекул и

т.д. Так, хороню изученная кросс-?-конфигурация

кератина является лентой из одной полипеп-тидной

цепи, построенной по типу антипараллелыюго

складчатого слоя. Другой пример. Как известно, в

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5