Основные представления о специальной и общей теории относительности

однородности и изотропии пространства и однородности времени (из которых,

например, следует, что связь "штрихованных" и "нештрихованных" координат

должна быть линейной), можно получить, что в условиях рассматриваемого

мысленного эксперимента, параметры {x',y',z',t'} связаны с параметрами

{x,y,z,t} соотношениями

|x' = |(12) |

|x - V t | |

|[pic] | |

| | |

| | |

|________ | |

|?1 - (V/c)2 | |

| | |

| | |

| | |

| | |

|, y' = y, z' = z, t' = | |

|t - x V/c2 | |

|[pic] | |

| | |

| | |

|________ | |

|?1 - (V/c)2 | |

| | |

| | |

| | |

| | |

|. | |

| | |

Преобразования Лоренца оставляют неизменными уравнения Максвелла,

однако проверка этого утверждения выходит за рамки школьной программы по

физике.

Легко видеть, что уравнения Ньютона теперь не сохраняют свой вид при

преобразовании (12). Поэтому второй закон Ньютона необходимо

модифицировать. Новая механика, основанная на принципе относительности

Эйнштейна, называется релятивистской (от латинского relativus -

относительный).

При безразмерном параметре V/c - V:

|x = |(5) |

|x' + V t' | |

|[pic] | |

| | |

| | |

|________ | |

|?1 - (V/c)2 | |

| | |

| | |

| | |

| | |

|, y = y', z = z', t = | |

|t' + x' V/c2 | |

|[pic] | |

| | |

| | |

|________ | |

|?1 - (V/c)2 | |

| | |

| | |

| | |

| | |

|. | |

| | |

[pic]

Рис. 6

2.4 Преобразование скорости

Если частица движется относительно движущейся системы координат S' со

скоростью [pic], то ее скорость [pic]в системе отсчета S может быть найдена

с помощью преобразований Лоренца (12).

Если закон движения частицы в движущейся системе координат имеет вид

|x' = v' t', y' = z' |

|= 0, |

| |

то в покоящейся (лабораторной) системе координат этот закон,

очевидно, имеет вид

|x = v t, y = z|

|= 0. |

| |

Выполнив подстановку (13), найдем, что

|v = |(13) |

|v' + V | |

|[pic] | |

|1 + v' V/c2 | |

|. | |

| | |

Эта формула определяет релятивистский закон сложения скоростей.

При ? = V/c > 0 релятивистский закон сложения скоростей (13) с

точностью до линейных по ? членов переходит в формулу преобразования

скоростей в классической механике:

|v = v' + V.|

| |

| |

Из (13) следует, что скорость частицы меньшая скорости света в

вакууме (v' < c) в одной системе отсчета, останется меньше скорости света в

вакууме (v < c) в любой другой системе отсчета, движущейся по отношению к

первой с досветовой скоростью V < c. Если же [pic]' = (c,0,0), то [pic]=

(c,0,0): скорость света одна и та же во всех системах отсчета.

Более общее преобразование скорости можно получить из формулы (14),

если в ней перейти к дифференциалам координат и времени и использовать, что

vx = dx/dt, vy = dy/dt, vz = dz/dt и аналогичные выражения для

vx', vy', vz'. После преобразования получившегося соотношения, получим

|vx' = |

|vx + V |

|[pic] |

|1 - V vx/c2 |

|, vy' = |

|vy |

| |

|________ |

|?1 - V2/c2 |

| |

| |

| |

|[pic] |

|1 - V vx/c2 |

|, vz' = |

|vz |

| |

|________ |

|?1 - V2/c2 |

| |

| |

| |

|[pic] |

|1 - V vx/c2 |

|. |

| |

2.5 Собственное время, события и мировые линии частиц

В качестве часов наблюдатели в системах S, S' могут использовать

любой периодический процесс, например, излучение атомов или молекул на

определенных фиксированных частотах. Время, отсчитываемое по часам,

движущимся вмемте с данным объектом, называется собственным временем этого

объекта. Для измерения длин можно взять некоторый эталон - линейку.

Собственной длиной линейки называется ее длина l0 в той системе, в которой

она покоится. Величина l0 равна модулю разности координат концов линейки в

один и тот же момент времени.

Совокупность декартовых координат [pic]= (x,y,z) и момента времени t

в некоторой инерциальной системе отсчета определяют событие. Событием

является, например, нахождение точечной частицы в момент времени t в точке

пространства, указанной вектором [pic].

Множество всех событий образуют "четырехмерный Мир Минковского".

Отдельные точки в четырехмерном пространстве указывают координаты и время

некоторого "события". Последовательность кинематических состояний любого

тела (его координаты в разные моменты времени) изображается мировой линией

(Рис. 7).

[pic]

Рис. 7

Если частицы движутся только вдоль оси 0x, то наглядно представить

"Мир Минковского" можно с помощью плоскости координат (с t, x). Время

удобно умножить на скорость света, чтобы обе координаты имели одинаковую

размерность. Это можно сделать, поскольку скорость света - универсальная

мировая константа.

[pic]

Рис. 8

Мировыми линиями (в отличие от траекторий классической механики)

обладают не только движущиеся, но и покоящиеся в данной инерциальной

системе отсчета тела. Так, мировая линия тела, покоящегося в начале

координат, будет совпадать с временной осью 0 ct, а тела, покоящегося в

пространственной точке xa - является прямой AB, параллельной оси времени.

Мировая линия тела, движущегося с постоянной скоростью V - (и при t = 0,

находящегося в точке x(0) = 0) - прямая CD; мировая линия светового луча,

испущенного из начала координат в напралении оси x - биссектриса

координатного угла OF; мировая линия тела, движущегося с переменной

скоростью v(t) - кривая MN (cм. Рис. 8а))

2.6 Геометрический смысл преобразований Лоренца

Выясним теперь геометрический смысл преобразований Лоренца. Еще раз

запишем его только для x и t в виде

|x' = ? (x - ? ct), ct' = ? (ct -|

|? x). |

| |

Это линейное однородное преобразование, очень похожее на

преобразование поворота на угол ? в плоскости XY:

|x' = x cos?+ y sin?, y' = - |

|x sin?+y cos?. |

| |

Новые оси x', y', получающиеся в результате поворота изображены на

Рис. 8 б).

Важнейшим свойством преобразования поворота является сохранение

расстояния между любыми двумя точками: r12 = r'12.

Здесь:

[pic]

Введем величину, зависящую от параметров двух событий { [(r1)\vec],t1

} и { [(r2)\vec],t2 } и определенную равенством

|s12 = [ c2 (t2 - t1)2 - (x2 - x1)2 - (y2 - |(15) |

|y1)2- (z2 - z1)2 ]1/2. | |

| | |

Она называется пространственно - временным интервалом.

Прямой подстановкой формул (12) можно проверить, что величина

пространственно - временного интервала между двумя событиями является

инвариантом преобразований Лоренца:

|s12' = s12. |(16) |

| | |

В двумерном случае [pic]можно рассматривать как "расстояние" между

точками плоскости ct, x. Но квадрат разности координат входит в s12 со

знаком "минус". Пространство, в котором расстояние между точками определено

формулой (15) называется псевдоевклидовым. Наряду с отмеченным сходством,

между евклидовым и псевдоевклидовым пространствами имеются принципиальные

различия. В евклидовом пространстве расстояние между любыми точками r212 ?

0, равенство нулю означает, что точки совпадают. В псевдоевклидовом

пространстве s212 может иметь любой знак, а его обращение в нуль возможно

для двух совершенно различных точек пространства - времени.

Найдем положение новых осей (x', ct') на псевдоевклидовой плоскости.

Отложим координата x, ct на прямоугольных осях. (Рис. 9). Точка x' = 0,

сопадающая с началом координат системы S', движется в системе S со

скоростью V. Ее мировая линия будет представлять собой ось времени ct'

системы S'. Эта ось будет наклонена к оси ct на угол ? = arctg (V/c). Ось

x' новой системы можно определить условием ct' = 0. Но тогда в старой

системе координат это будет прямая ct = ?x, проходящая через начало

координат и составляющая с осью x тот же угол ? = arctg (V/c).

Приходим к выводу, что новая система координат косоугольна! Если

попытаться найти связь между отрезками x', ct' и x, ct, посто проектируя

отрезки (так как это делается в эвклидовом случае), то получится

неправильный результат. Преобразования Лоренца не только поворачивают оси,

но и искажают масштабы координат по осям!

Итак, основной результат состоит в том, что преобразования Лоренца

можно интерпретировать, как псевдоевклидово вращение системы координат в

пространстве Минковского.

[pic]

Рис. 9

С помощью Рис. 9 можно дать геометрическую интерпретацию различным

следствиям из преобразований Лоренца. Вспомним, например, относительность

одновременности. В системе S линии равного времени - прямые параллельные

оси 0x. В системе S' - это прямые, параллельные 0x', не совпадающие с

линиями равного времени в системе S. Поэтому события, одновременные в S, не

будут в общем случае одновременными в S. Например, между одновременными в

системе S событиями A и B в системе S' пройдет промежуток времени ? t' =

|A'B'|/c, причем событие B произойдет раньше.

Как ясно из вышеизложенного, на псевдоевклидовой плоскости квадрат

интервала s212 может быть как положительным, так и равным нулю и

отрицательным.

Если s212 > 0, его называют времениподобным, при s212 < 0 -

пространственноподобным, при s212 = 0 - светоподобным или нулевым.

Характер интервала тесно связан c причинностью - он определяет

возможность причинной связи событий, происходящих в пространственно -

временных точках 1 и 2. Если s212 > 0, то из точки 1 можно послать сигнал

со скоростью [pic], который вызовет событие 2. В случае s212 = 0 это также

возможно, но сигнал должен посылаться с предельной скоростью c. События,

разделенные пространственноподобным интервалом, не могут быть причинно

обусловлены, т.к. сигналы не могут распространяться со скоростью [pic].

2.7 Замедление времени

Рассмотрим часы, покоящиеся в начале координат движущейся системы (x'

= 0), которые перемещаются относительно лабораторной системы координат со

скоростью V, так что их координата x = V t пропорциональна времени,

определяемому неподвижными часами. Инвариантность интервала позволяет,

тогда, определить показания движущихся часов:

|t' = t |(17) |

| | |

|________ | |

|?1 - V2/c2 | |

| | |

|. | |

| | |

Время, измеряемое часами, движущимися относительно лабораторной

системы отсчета, замедляется.

Как ни покажется странным, но тот же вывод справедлив относительно

замедления темпа хода часов в лабораторной системе координат с точки зрения

наблюдателя из движущейся системы отсчета, т.е. "движущиеся" и "покоящиеся"

часы взаимно отстают друг от друга.

С последним замечанием тесно связан широко известный парадокс

близнецов (см. ниже раздел "Задачи").

Замедление хода времени в движущейся системе отсчета было

экспериментально подтверждено американскими физиками Б. Росси и Д.Х. Холлом

в 1941 году. Они наблюдали увеличение среднего времени жизни мюонов,

двигавшихся со скоростью v ? c, в 6 ч8 раз по сравнению с временем жизни

неподвижных мюонов.

Особая ценность этого эксперимента состоит в том, что процесс распада

мюонов определяется слабым взаимодействием, в то время как СТО была

построена для описания систем с электромагнитным взаимодействием.

2.8 Лоренцево сокращение длины

Стержень, расположенный вдоль оси 0'X' движущейся системы отсчета и

покоящийся в ней, имеет длину l0. Если один из концов стержня (для

простоты) сосвпадает с началом координат этой системы, то в момент t = 0 по

часам лабораторной системы отсчета координаты концов стержня определяются

преобразованием Лоренца:

|x1 = 0, x2 = l = l0 |(18) |

| | |

| ________ | |

|?1 - V2/c2 | |

| | |

|. | |

| | |

Длина движущегося стержня в лабораторной системе отсчета уменьшается

в направлении движения. Это изменение длины называется сокращением Лоренца

- Фитцджеральда.

Поскольку поперечные размеры тела не изменяются, то легко видеть, что

объем тела также уменьшается:

|V = V0 |(19) |

| | |

| ________ | |

|?1 - V2/c2 | |

| | |

|. | |

| | |

3 Динамика специальной теории относительности

3.1 Энергия и импульс частицы

Под массой частицы m будем понимать ее массу, измеряемую в системе

покоя частицы - массу покоя.

Релятивистским импульсом частицы массы m, движущейся в выбранной

инерциальной системе отсчета со скоростью [pic], называется векторная

величина [pic], определяемая формулой

| |(20) |

|> | |

|p | |

| | |

|= | |

|m | |

|> | |

|v | |

| | |

| | |

| | |

|[pic] | |

| | |

| | |

| ________ | |

|?1 - (v/c)2 | |

| | |

| | |

| | |

| | |

|. | |

| | |

Релятивистский импульс имеет ту же размерность, что и импульс в

Страницы: 1, 2, 3, 4