Анализ финансовых результатов на примере магазина

исследования экономико-математических моделей, с помощью экономико-

математических методов.

Экономико-математическая модель - это математическое описание

экономического процесса или объекта.

Экономико-математические методы – это комплекс экономических и

математических дисциплин, таких, как:

экономико-статистические методы;

эконометрика;

исследование операций;

экономическая кибернетика.

Предметом экономико-математического моделирования является

изучение реальных процессов социально-экономического развития, их обобщение

и представление в виде конкретных объективно обусловленных оценок.

Основной целью экономики является обеспечение общества

предметами потребления. Экономика состоит из элементов – хозяйственных

единиц: предприятия, фирмы, банки и так далее. Экономика является

подсистемой системы более высокого уровня – природы и общества.

Задачами экономико-математического моделирования являются:

- анализ экономических объектов и процессов;

- экономическое прогнозирование, предвидение развития экономических

процессов;

- выработка данных необходимых для принятия управленческих решений.

Любое экономическое исследование всегда предполагает объединение

теории (экономической модели) и практики (статистических данных).

Теоретические модели используются для описания и объяснения наблюдаемых

процессов, а статистические данные собираются с целью эмпирического

построения и обоснования модели.

Математические модели, используемые в экономике, подразделяются

на классы по ряду признаков, относящихся к особенностям моделируемого

объекта, цели моделирования и используемого инструментария: модели макро- и

микроэкономические, теоретические и прикладные, оптимизационные и

равновесные, статистические и динамические.

Макроэкономические модели описывают экономику как единое целое,

связывая между собой укрупненные материальные и финансовые показатели: ВНП,

потребление, инвестиции, занятость и т.д. Микроэкономические модели

описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих

экономики, либо поведение отдельной такой составляющей в рыночной среде.

Теоретические модели позволяют изучать общие свойства экономики и ее

характерных элементов дедукцией выводов из формальных предпосылок.

Прикладные модели дают возможность оценить параметры функционирования

конкретного экономического объекта и сформулировать рекомендации для

принятия практических решений. Равновесные модели описывают такие состояния

экономики, когда результирующая всех сил, стремящихся вывести ее из

данного состояния, равна нулю. В моделях статистических описывается

состояние экономического объекта в конкретный момент или период времени;

динамические модели включают взаимосвязи переменных во времени.

В экономической деятельности достаточно часто требуется не

только получить прогнозные оценки исследуемого показателя, но и

количественно охарактеризовать степень влияния на него других факторов, а

также возможные последствия их изменений в будущем. Для решения этой задачи

предназначен аппарат корреляционного и регрессионного анализа.

Результат опыта можно охарактеризовать качественно и

количественно. Любая качественная характеристика результата опыта

называется событием; любая количественная характеристика результата опыта

называется случайной величиной. Случайная величина – это такая величина,

которая в результате опыта может принимать различные значения, причем до

опыта не возможно предсказать, какое именно значение она примет.

Понятие зависимости (независимости) случайных величин является

одним из важнейших понятий в теории вероятностей. Так как наличие или

отсутствие зависимости между случайными величинами оказывает существенное

влияние на метод исследования. Степень тесноты изменяется в широких

пределах: от полной независимости случайных величин до очень сильной,

близкой по существу к функциональной зависимости.

Связь между зависимой переменной Y(i) и n независимыми факторами

можно охарактеризовать функцией регрессии Y(i) = f (X1, X2, ......, Xm),

которая показывает, каким будет в среднем значение переменной Y, если

переменные Х примут конкретное значение. Это обстоятельство позволяет

применять модель регрессии не только для анализа, но и для прогнозирования.

Множественная корреляция и регрессия определяют форму связи

переменных, выявляют тесноту их связи и устанавливают влияние отдельных

факторов.

Основными этапами построения регрессионной модели являются:

- построение системы показателей (факторов). Сбор и предварительный

анализ исходных данных.

- выбор вида модели и численная оценка ее параметров.

- проверка качества модели

- оценка влияния отдельных факторов на основе модели

- прогнозирование на основе модели регрессии.

Рассмотрим содержание этих этапов и их реализацию.

Построение системы показателей (факторов).

Информационной базой регрессионного анализа являются многомерные

временные ряды, каждый из которых отражает динамику одной переменной и

должен удовлетворять требованиям статистического аппарата исследования.

Для построения системы показателей используется корреляционный

анализ. Основная задача которого, состоит в выявлении связи между

случайными переменными путем точечной и интервальной оценки парных

(частных) коэффициентов корреляции и детерминации.

Выбор факторов, влияющих на исследуемый показатель, производится

прежде всего исходя из содержательного экономического анализа. Для

получения надежных оценок в модель не следует включать слишком много

факторов. Их число не должно превышать одной трети объема имеющихся

данных. Для определения наиболее существенных факторов могут быть

использованы коэффициенты линейной и множественной корреляции.

При проведении корреляционного анализа вся совокупность данных

рассматривается как множество переменных (факторов), каждая из которых

содержит n-наблюдений; хik – i- ое наблюдение k-ой переменной.

Связь между случайными величинами X и Y в генеральной

совокупности, имеющими совместное нормальное распределение, можно описать

коэффициентами корреляции:

( = М ((X – mx) (Y – my)) / (x (y , или ( = Кxy / (x (y

, ( 17 )

где ( - коэффициент корреляции (или парный коэффициент корреляции)

генеральной совокупности.

Оценкой коэффициента корреляции ( является выборочный парный

коэффициент корреляции:

N _ _

r = ( (xi – x ) (yi – y) / nSxSy,

( 18 )

i = 1

где Sx.Sy – оценки дисперсии;

x , y – наилучшие оценки математического ожидания.

Парный коэффициент корреляции является показателем тесноты связи

лишь в случае линейной зависимости между переменными и обладает следующими

основными свойствами:

Свойство 1. Коэффициент корреляции принимает значение в интервале (-1,+1),

или (xy < 1. Значение коэффициентов парной корреляции лежит в

интервале от -1 до +1. Его положительное значение свидетельствует о прямой

связи, отрицательное - об обратной, то есть когда растет одна переменная,

другая уменьшается. Чем ближе его значение к 1 , тем теснее связь.

Коэффициент множественной корреляции, который принимает значение от 0

до 1, более универсальный: чем ближе его значение к 1, тем в большей

степени учтены факторы, влияющие на зависимую переменную, тем более точной

может быть модель.

Свойство 2. Коэффициент корреляции не зависит от выбора начала отсчета и

единицы измерения, то есть

р ((1X + ( (2 Y + () = ( xy ,

( 19 )

где (1, (2 , ( - постоянные величины, причем (1 > 0 , (2 > 0.

Случайные величины X,Y можно уменьшать (увеличивать) в ( раз, а также

вычитать или прибавлять к значениям X и Y одно и тоже число ( - это не

приведет к изменению коэффициента корреляции (.

Свойство 3. При ( = +-1 корреляционная связь представляется линейной

функциональной зависимостью. При этом линии регрессии y по x и x по y

совпадают.

Свойство 4. При ( = 0 линейная корреляционная связь отсутствует и

параллельны осям координат.

Рассмотренные показатели во многих случаях не дают однозначного

ответа на вопрос о наборе факторов. Поэтому в практической работе с

использованием ПЭВМ чаще осуществляется отбор факторов непосредственно в

ходе построения модели методом пошаговой регрессии. Суть метода состоит в

последовательном включении факторов. На первом шаге строится однофакторная

модель с фактором , имеющим максимальный коэффициент парной корреляции с

результативным признаком. Для каждой переменной регрессии , за исключением

тех, которые уже включены в модель , рассчитывается величина С(j) , равная

относительному уменьшению суммы квадратов зависимой переменной при

включении фактора в модель. Эта величина интерпретируется как доля

оставшейся дисперсии независимой переменной, которую объясняет переменная

j. Пусть на очередном шаге k номер переменной, имеющей максимальное

значение, соответствует j. Если Сk меньше заранее заданной константы,

характеризующей уровень отбора, то построение модели прекращается. В

противном случае k-я переменная вводится в модель.

После того, как с помощью корреляционного анализа выявлены

статистические значимые связи между переменными и оценена степень их

тесноты, переходят к математическому описанию

Регрессионной моделью системы взаимосвязанных признаков является

такое уравнение регрессии, которое включает основные факторы, влияющие на

вариацию результативного признака, обладает высоким (не ниже 0,5)

коэффициентом детерминации и коэффициентом регрессии, интерпретируемыми в

соответствии с теоретическим знанием о природе связей в изучаемой системе.

Основной задачей линейного регрессионного анализа является

установление формы связи между переменными, а так же выбор наиболее

информативных аргументов Xj; оценивание неизвестных значений параметров aj

уравнения связи и анализ его точности.

В регрессионном анализе вид уравнения выбирается исходя из

физической сущности изучаемого явления и результатов наблюдений.

Простейший случай регрессионного анализа для линейной зависимости между

зависимой переменной Y и независимой переменной Х выражается следующей

зависимостью:

Y = a0 + a1X + ( ,

( 20 )

где a0 – постоянная величина (или свободный член уравнения).

a1 – коэффициент регрессии, определяющий наклон линии, вдоль которой

рассеяны данные наблюдений. Это показатель, характеризующий

процентное изменение переменой Y, при изменении

значения X на единицу. Если a1 > 0 –переменные X и Y

положительно коррелированны, если a2 < 0 – отрицательно

коррелированны;

( - независимая ((М ((i (j ) = 0, при i ( j ) нормально

распределенная случайная величина – остаток (помеха) с нулевым

математическим ожиданием (m( = 0) и постоянной дисперсией (

D( = (2 ). Она отражает тот факт, что изменение

Y будет недостаточно описываться изменением X –

присутствуют другие факторы, неучтенные в данной модели.

Параметры модели оцениваются по методу наименьших квадратов,

который дает наилучшие (эффективные) линейные несмещенные оценки.

Если записать выражение для определения коэффициентов регрессии

в матричной форме, то становится очевидным, что решение задачи возможно

лишь тогда, когда столбцы и строки матрицы исходных данных линейно

независимы. Для экономических показателей это условие выполняется не

всегда. Линейная или близкая к ней связь между факторами называется

коллиниарностью и приводит к линейной зависимости нормальных уравнений, что

делает вычисление параметров либо невозможным, либо затрудняет

содержательную интерпретацию параметров модели. Чтобы избавиться от

коллиниарности, в модель включают лишь один из линейно связанных между

собой факторов, причем тот, который в большей степени связан с зависимой

переменной.

Проверка качества модели

Качество модели оценивается стандартным для математических моделей

образом: по адекватности и точности. Расчетные значения получаются путем

подстановки в модель фактических значений всех включенных факторов.

Кроме рассмотренных выше характеристик, целесообразно

использовать корреляционное отношение (индекс корреляции), а также

характеристики существенности модели в целом и ее коэффициентов.

В качестве характеристики тесноты связи применяется индекс корреляции

(Iyx ) переменных Y по X.

Iyx = 1- (((2 / (y2) ,

( 21 )

где ((2 – это дисперсия параметра Х относительно функции регрессии, то

есть остаточная дисперсия, которая характеризует

влияние на Y прочих неучтенных факторов в

модели;

(y2 – полная дисперсия, она измеряет влияние параметра X и Y.

Из этого следует, что 0 ( Iyx ( 1. При этом Iyx = 0 означает

полное отсутствие корреляционной связи между зависимой переменной Y и

объясняющей переменной Х. В то же время максимальное значение индекса

корреляции (Iyx = 1) соответствует наличию чисто функциональной связи

между переменными X и Y и, следовательно, возможность детерминированного

восстановления значений зависимой переменной Y по соответствующим значениям

объясняющей переменной X.

Данный коэффициент является универсальным, так как он отражает

тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой

форме связи переменных. При построении однофакторной модели и их линейной

зависимости он равен коэффициенту линейной корреляции.

Коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции), возведенный

в квадрат, называется коэффициентом детерминации. Он показывает долю

вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых

факторов, то есть определяет, какая доля вариации признака Y учтена в

модели и обусловлена влиянием на него факторов.

В качестве меры точности применяют несмещенную оценку дисперсии

остаточной компоненты , которая определяется по формуле:

n _

S = S2 / ( (xi – x) ,

( 22 )

i=1

где S2 – дисперсия зависимой переменной Y.

n _ n

S2 = ( (yi – yi)2 / n-2 = ( (i2 / n-2

( 23 )

i=1 i=1

Квадратный корень из этой величины (S) называется стандартной

ошибкой оценки:

n _

S а1= S2 / ( (xi – x) ,

( 24 )

i=1

Коэффициент а1 есть мера наклона линии регрессии. Очевидно, чем

больше разброс значений Y вокруг линии регрессии, тем больше в среднем

ошибка в определении ее наклона. Кроме того, чем больше число наблюдений n,

тем больше сумма ( (xi – x)2 и тем, самым меньше стандартная ошибка оценки

а1 .

Проверка значимости модели регрессии осуществляется по F-критерию (критерий

Фишера), расчетное значение которого определяется по формуле:

Fp = {Q1 * (n - m)} / {Q2 * (m-1)},

( 25 )

где m – число объясняющих (независимых переменных);

n – число наблюдений;

Q1 - сумма квадратов, объясняемая регрессией, то есть сумма

квадратов отклонений обусловленных влиянием признака Х;

Q2 – остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных

факторов.

По заданному уровню значимости ( и числу степеней свободы k1 =m-

1 и k2 = n-m по таблице F-распределения находится значение Fтабл и

сравнивается с расчетным Fp :

если Fp > Fтабл, то нулевая гипотеза Н0 отвергается и уравнение регрессии

(модель) считается значимым;

если Fp < Fтабл, то нет основания отвергать нулевую гипотезу Н0.

Значимость коэффициентов регрессии проверяется с помощью t-

критерия, значение которого рассчитывается по формуле:

t = r / Sr = r n-2 / 1 – r 2

где r – коэффициента уравнения регрессии;

Sr - среднеквадратическое отклонение r.

При заданном уровне значимости ( и числе степеней свободы k = n

– m – 1 определяется табличное значение t – критерия и сравнивается с

расчетным tp : - если tp > tpасч коэффициент регрессии является

значимым. В противном случае фактор, соответствующий этому коэффициенту,

следует исключить из модели (при этом ее качество не ухудшится).

Оценка влияния отдельных факторов на основе модели.

Коэффициенты регрессии являются именованными числами,

выраженными в разных единицах измерения. Поэтому трудно, а иногда

невозможно сопоставить факторы Х по степени их влияния на зависимую

переменную Y. Для устранения этого недостатка в практике экономического

анализа используются следующие коэффициенты:

коэффициент эластичности Э;

бета – коэффициент, (;

дельта – коэффициент, ?.

Коэффициент

эластичности имеет вид: Эi = bi * x i / y ( 27 )

где bi – коэффициент модели при i– факторе;

х i – среднее значение i – го

фактора;

у – среднее значение зависимой переменной.

Коэффициент эластичности i – фактора Х i говорит о том, что при отклонении

его величины от среднего значения хi на 1%, и при фиксированных на

постоянном уровне значениях других факторов, входящих в уравнение,

объясняемая переменная Y отклониться от своего среднего значения y на э i

процентов. Иначе, - изменение значения фактора Х i на 1% от его средней

величины х i, приводит к изменению значения объясняемой переменной на э i

процентов от ее средней величины.

Бета – коэффициент имеет вид: ( i = b i * S i / Sy ,

( 28 )

где b i - коэффициент модели при i- м факторе;

S i – оценка среднеквадратического отклонения i – го фактора;

Sy - оценка среднеквадратического отклонения зависимой переменной

Y.

Бета-коэффициент при факторе X i определяет меру влияния его

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8